Quelle est la relation entre la pression P (en kPa) et le niveau h (en cm) dans une cuve de surface 1dm2 remplie d’eau ?

La relation entre la pression P (en kilopascals, kPa) au fond d'une cuve et le niveau h (en centimètres, cm) de l'eau dans cette cuve peut être déterminée par la formule de la pression hydrostatique, qui est dérivée du principe fondamental de la statique des fluides.

La pression hydrostatique P est la pression exercée par une colonne de fluide due à la force de gravité. Elle est donnée par la formule suivante :

\[ P = \rho \cdot g \cdot h \]

où :
- P est la pression hydrostatique (en pascals, Pa),
- ρ (rho) est la densité du fluide (en kilogrammes par mètre cube, kg/m³),
- g est l'accélération due à la gravité (en mètres par seconde carrée, m/s²),
- h est la hauteur de la colonne de fluide (en mètres, m).

Pour l'eau, la densité ρ est d'environ 1000 kg/m³ à température ambiante, et l'accélération due à la gravité g est de 9,81 m/s². Si nous convertissons h en mètres (en divisant par 100 puisque 1 cm = 0.01 m) et que nous voulons la pression en kilopascals, nous devons diviser le résultat par 1000 car 1 kPa = 1000 Pa.

La formule devient alors :

\[ P (\text{kPa}) = \frac{\rho (\text{kg/m}^3) \cdot g (\text{m/s}^2) \cdot h (\text{m})}{1000} \]

Pour une hauteur h en centimètres dans une cuve d'eau, la relation sera :

\[ P (\text{kPa}) = \frac{1000 (\text{kg/m}^3) \cdot 9.81 (\text{m/s}^2) \cdot h (\text{cm}) \cdot 0.01 (\text{m/cm})}{1000} \]

\[ P (\text{kPa}) = 9.81 (\text{m/s}^2) \cdot h (\text{cm}) \cdot 0.01 (\text{m/cm}) \]

\[ P (\text{kPa}) = 0.0981 \cdot h (\text{cm}) \]

Ainsi, pour chaque centimètre de hauteur d'eau, la pression au fond de la cuve augmente de 0.0981 kPa.

Pour une cuve de surface 1 dm², cette surface n'affecte pas directement la pression calculée car la pression hydrostatique est indépendante de la surface, tant que nous considérons un point au fond de la cuve. Cependant, cela pourrait être pertinent si nous souhaitions calculer la force totale exercée sur le fond de la cuve, auquel cas nous multiplierions la pression par la surface concernée (en mètres carrés).

À noter que cette relation est valable tant que l'on se trouve dans les conditions où l'eau peut être considérée comme un fluide incompressible, ce qui est le cas dans la plupart des applications pratiques à la surface de la Terre.